El número áureo

¿Quién no ha leído u oído alguna vez algo acerca del número áureo?
También se conoce como proporción divina, número dorado o sección áurea.
Al parecer, fue Leonardo da Vinci quien lo bautizó con ese nombre y fue el matemático estadounidense Mark Barr quien en 1900 lo denotó, tal y como se hace en la actualidad, por la letra griega Phi, en honor al escultor de la Grecia Antigua, Phidias. 
Phi es un número irracional, pues no puede expresarse como cociente de dos enteros, y es algebraico, pues es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, a saber,  

Su valor es 1,61803..... y es la semisuma de la unidad y la raíz cuadrada positiva de cinco.

Ya Euclides (300-265 a.C) ideó un método muy sencillo para construir un rectángulo con proporciones áureas.
Encontramos este número en el crecimiento de las plantas, en el de las piñas, en la distribución de las hojas en un tallo o en la formación de las caracolas, como, por ejemplo, en el nautilus. 

Pero también está presente en el diseño de las actuales tarjetas de crédito, en el carné de identidad y en un sinfin de objetos. Es omnipresente en la arquitectura clásica, por ejemplo, en el Partenón o en la pirámide de Keops
y en la estructura armónica de la música y en la naturaleza.

El ejemplo típico es el cuerpo armonioso del Hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci,

En 1202 Leonardo Bigollo, más conocido por Fibonacci, se planteó el problema de cómo se reproduciría una pareja de conejos en condiciones ideales y su resolución sacó a la luz la llamada sucesión de Fibonacci

1,1,2,3,5,8,13,21,34, ......., Fn ,..... 

en la que cada término es la suma de los dos anteriores.

Esta sucesión es también omnipresente en la naturaleza y su relación con el número áureo es estrechísima, de hecho, el cociente de un término de la sucesión entre el anterior tiende precisamente al número áureo. Esta propiedad fue descubierta, al parecer, por el astrónomo y matemático Johannes Kepler (1571-1639), pero no fue demostrada matemáticamente hasta más de un siglo después. Fue a mediados del siglo XIX cuando, por fin, se dio con la expresión del término general de la sucesión de Fibonacci, gracias al matemático francés Jacques Philippe Marie Binet, la cuál se conoce como fórmula de Binet:

o equivalentemente:

Otro ejemplo en el que aparece esta sucesión es en el árbol geneálogico de un zángano de un panal. 

Uno de los matemáticos que dedicó muchos esfuerzos al estudio de la sucesión de Fibonacci y que dio nombre a la sucesión de Lucas, análoga a la de Fibonacci, fue el francés François Edouard Anatole Lucas (1842-1891), quien entre otras labores académicas fue conocido por los innumerables juegos matemáticos recreativos que inventó, como, por ejemplo, el de la torre de Hanoi o torre de Brahma.

El poeta Rafael Alberti le dedicó uno de sus poemas:

A la divina proporción

A ti, maravillosa disciplina,

media, extrema razón de la hermosura,

que claramente acata la clausura

viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina,

áurea sección, celeste cuadratura,

misteriosa fontana de mesura

que el Universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños, angulares,

flor de las cinco formas regulares,

dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un compás ardiente.

Tu canto es una esfera transparente.

A ti, divina proporción de oro.

Rafael Alberti

Si después de leer esta entrada estás interesado en saber más sobre el número áureo y sobre la sucesión de Fibonacci te invito a leer el documento que puedes descargar en el enlace que figura más abajo, si bien, te advierto, que es preciso tener ciertos conocimientos de matemáticas. Ahí tienes el reto:

numeroaureo.pdf